灵鹊做题网线性代数的问题,紧急!
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/17 13:04:19
线性代数的问题,紧急!
一、总结在利用正交矩阵将一个实对称矩阵（3阶方阵）对角化的过程中所包含的知识点,并就矩阵的特征值都是单根和具有重根这两种情况,分别举出实例,并给出相应的解题过程.
二.总结题
1、行列式是《线性代数》课程中的重要工具,其
其应用贯穿课程整个内容,总结它在本课程一些知
识点中的应用（要求至少3种）并举出相应的实例.
2、矩阵的初等变换是《线性代数》课程中的重要
计算工具,通过初等行变换,矩阵可以化为行阶梯
形和行最简形,总结在哪些知识点上应用了初等行
变换（要求至少3种）,同时指明矩阵的等价形式
是行阶梯形还是行最简形,并举出相应的实例.
很急,谢谢! 第一大题必做,第二大题二选一,谢谢!
一、总结在利用正交矩阵将一个实对称矩阵（3阶方阵）对角化的过程中所包含的知识点,并就矩阵的特征值都是单根和具有重根这两种情况,分别举出实例,并给出相应的解题过程.
二.总结题
1、行列式是《线性代数》课程中的重要工具,其
其应用贯穿课程整个内容,总结它在本课程一些知
识点中的应用（要求至少3种）并举出相应的实例.
2、矩阵的初等变换是《线性代数》课程中的重要
计算工具,通过初等行变换,矩阵可以化为行阶梯
形和行最简形,总结在哪些知识点上应用了初等行
变换（要求至少3种）,同时指明矩阵的等价形式
是行阶梯形还是行最简形,并举出相应的实例.
很急,谢谢! 第一大题必做,第二大题二选一,谢谢!
时间有限,我只做第一题
包含的知识点有：矩阵的特征值与特征向量的求法、齐次线性方程组求法、将矩阵正交化（有重根时需做）、将矩阵单位化,从小点上说就有行列式的求法、矩阵的初等行变换（行最简形）、增广矩阵在求齐次线性方程组中的运用.大概就这些.
特征值为单根实例（特征值那个代表符不好打就用f来表示了）
用正交矩阵将实对称矩阵A对角化
1 0 -1
A=0 1 0
-1 0 1
解 A的多项式为
f-1 0 1
|fI-A|= 0 f-1 0 =f(f-1)(f-2)
1 0 f-1
所以,A的特征值为f1=0,f2=1,f3=2
对于f1=0,对应的特征方程组为
-1 0 1
0 -1 0 X=0
1 0 -1
解得基础解系为
a1=(1,0,1)T
同样方法可求得对于f2,f3特征值的基础解系即特征向量分别为a2=(0,1,0)T,a3=(-1,0,1)T
由于三个特征值互异,所以这三个特征向量是正交的,将其单位化得
b1=(1/根号2,0,1/根号2）T,b2=(0,1,0)T,b3=(-1/根号2,0,1/根号2）T（代表转置）
令
1/根号2 0 -1/根号2
T= 0 1 0
1/根号2 0 1/根号2
则
0
T-1（T的逆矩阵)AT= 1
2
这就是这类题目的解题方法,时间问题另外那个有重根的情况我就不列举了,仅仅多了将那些特征向量正交化的步骤,虽然将矩阵正交化有点复杂但是记住那个公式和细心一点不要算错就应该没问题,相信一般的教科书或相关资料上都有例子
包含的知识点有：矩阵的特征值与特征向量的求法、齐次线性方程组求法、将矩阵正交化（有重根时需做）、将矩阵单位化,从小点上说就有行列式的求法、矩阵的初等行变换（行最简形）、增广矩阵在求齐次线性方程组中的运用.大概就这些.
特征值为单根实例（特征值那个代表符不好打就用f来表示了）
用正交矩阵将实对称矩阵A对角化
1 0 -1
A=0 1 0
-1 0 1
解 A的多项式为
f-1 0 1
|fI-A|= 0 f-1 0 =f(f-1)(f-2)
1 0 f-1
所以,A的特征值为f1=0,f2=1,f3=2
对于f1=0,对应的特征方程组为
-1 0 1
0 -1 0 X=0
1 0 -1
解得基础解系为
a1=(1,0,1)T
同样方法可求得对于f2,f3特征值的基础解系即特征向量分别为a2=(0,1,0)T,a3=(-1,0,1)T
由于三个特征值互异,所以这三个特征向量是正交的,将其单位化得
b1=(1/根号2,0,1/根号2）T,b2=(0,1,0)T,b3=(-1/根号2,0,1/根号2）T（代表转置）
令
1/根号2 0 -1/根号2
T= 0 1 0
1/根号2 0 1/根号2
则
0
T-1（T的逆矩阵)AT= 1
2
这就是这类题目的解题方法,时间问题另外那个有重根的情况我就不列举了,仅仅多了将那些特征向量正交化的步骤,虽然将矩阵正交化有点复杂但是记住那个公式和细心一点不要算错就应该没问题,相信一般的教科书或相关资料上都有例子