作业帮 > 数学 > 作业

已知点P是椭圆x216+y28=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 11:54:06
已知点P是椭圆
x
已知点P是椭圆x216+y28=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF
如图,延长PF2、F1M,交与N点,连接OM,
∵PM是∠F1PF2平分线,且

F1M•

MP=0可得F1M⊥MP,
∴|PN|=|PF1|,M为F1F2中点,
∵O为F1F2中点,M为F1N中点
∴|OM|=
1
2|F2N|=
1
2||PN|-|PF2||=
1
2||PF1|-|PF2||
设P点坐标为(x0,y0
∵在椭圆
x2
16+
y2
8=1中,离心率e=
c
a=

2
2
由圆锥曲线的统一定义,得|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0
∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0+a-ex0|=|2ex0|=
2|x0|
∵P点在椭圆
x2
16+
y2
8=1上,∴|x0|∈[0,4],
又∵x≠0,y≠0,可得|x0|∈(0,4),∴|OM|∈(0,2
2)
故答案为:(0,2
2)