灵鹊做题网高中几何不等式 竞赛题
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 21:42:25
高中几何不等式 竞赛题
设点P是正三角形ABC内一点,证明:由PA,PB,PC组成的三角形的面积不超过三角形ABC的面积的三分之一
设点P是正三角形ABC内一点,证明:由PA,PB,PC组成的三角形的面积不超过三角形ABC的面积的三分之一
设PA=a,PB=b,PC=c,p=1/2(a+b+c)
所求面积为：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
（a+b+c)^3 /27≥abc (a,b,c均为正数,当a=b=c时,取“=”）
∵ (p-a)*(p-b)*(p-c）≤[3p-(a+b+c)]^3 /27,又∵2p=a+b+c；
∴ (p-a)*(p-b)*(p-c）≤p3 /27
则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2
所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2
即：s≤（3^1/2 /36) p2,当p-a=p-b=p-c,即,a=b=c时,取“=”s有最大值
也即由PA,PB,PC组成的三角形的面积取最大值时P点为正三角形的内心（三心合一）
设正三角形边长为1,则容易求得PA=√3/3,边长比是1/√3,则面积比是1/3.得证
所求面积为：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
（a+b+c)^3 /27≥abc (a,b,c均为正数,当a=b=c时,取“=”）
∵ (p-a)*(p-b)*(p-c）≤[3p-(a+b+c)]^3 /27,又∵2p=a+b+c；
∴ (p-a)*(p-b)*(p-c）≤p3 /27
则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2
所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2
即：s≤（3^1/2 /36) p2,当p-a=p-b=p-c,即,a=b=c时,取“=”s有最大值
也即由PA,PB,PC组成的三角形的面积取最大值时P点为正三角形的内心（三心合一）
设正三角形边长为1,则容易求得PA=√3/3,边长比是1/√3,则面积比是1/3.得证