求Heine Borel定理的详细证明,以及对紧集的理解

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 11:26:01

R^n中Heine-Borel定理,下面三个等价
1. 集合E是紧的
2. E任何无穷子集都有聚点在E内
3. E闭且有界
下面的推导,
要用到
a） R^n中中紧集是闭的这一性质
b）紧集的闭子集是紧的
c）只证E是无限集的情况,因为有限集是显然的
1.推2.
现在E是紧的,现在只需证明E的无穷点集有聚点就行.因为由闭性,可以知道这个聚点一定在E内.
现在对以E中的每一个点为心,1/2为径做开球,这一堆开球并起来,一起覆盖了E,那么有一个有限子覆盖.那有限个覆盖的开球中,一定有一个包含了无穷多个E中的点.把那个开球找出来,做闭包(取成对应的闭球),那交那个闭球交上E还是一个E中的闭子集,所以是紧的.
现在以 E交上那个球中的点为心,1/4为半径,做开球覆盖,和前面一样,可以找到一个更小的无穷紧子集.
再以上一轮找到的紧子集中的点为心,1/8为半径 .
. 做无限可数多次利用R^n的完备性,就可以找到聚点.
后面的太长了,有问题直接百度HI我吧.打字累死我了

叙述：函数关系与数列极限关系的Heine定理不可数集和紧集部分定理的证明求柯西定理详细证明方法,求如何构造辅助函数证明柯西定理的详细方法请给出海伦定理的详细证明, 欧拉定理的详细证明切割线定理,割线定理的详细证明证明相似三角形SSA这一定理,若不能相似,请举出反例以及它的详细过程寻求一本对公式定理有详细证明及推导的高等数学教科书求高斯定理的证明以及散度两种表示的关系刘维尔定理的证明,这一步看不懂,求详细的步骤求各种三角形的定义以及定理求托勒密定理的详细证明过程（最好有图）