在三角形ABC中,CD⊥AB于D,且AC²=AD×AB,求证△ABC为直角三角形

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 15:20:10

在三角形ABC中,CD⊥AB于D,且AC²=AD×AB,求证△ABC为直角三角形
不好意思饿，我还没学相似。刚学完勾股定理，有不用相似的解法吗？

方法一,用勾股定理：
∵CD⊥AB,∴ACD、CBD都是直角三角形
∴AC^2 = AD^2 + CD^2,BC^2 = BD^2+CD^2
∴AC^2-BC^2 = AD^2-BD^2 = (AD+BD)(AD-BD) = AB*(AD-BD)
又：AC^2 = AD*AB
∴AD*AB - BC^2 = AB*(AD-BD)
∴BC^2 = AD*AB - AB*(AD-BD) = AB*(AD-AD+BD) = AB*BD
∴AC^2+BC^2=AB*AD+AB*BD=AB*(AD+BD)=AB*AB=AB^2
∴三角形ABC三边关系满足勾股定理
∴三角形ABC是直角三角形.
方法二,根据余弦cosA=邻边/对边：
∵CD⊥AB
∴ACD是直角三角形
∴cosA=AD/AC
又：AC^2=AD×AB
∴AD/AC = AC/AB
∴cosA=AC/AB
∴AC为邻边,AB为斜边
∴∠ACB=90°
方法三, 根据相似三角形：
∵AC^2=AD×AB
∴AD：AC = AC：AB
∴△ACD ∽ △ABC 【对应变成比例的三角形相似】
又：CD⊥AB,即∠ADC=90°
∴∠ACB=∠ADC=90°【相似三角形对应角相等】
∴△ABC为直角三角形

在三角形ABC中,CD垂直于AB于点D,若AC的平方=AD乘以AB,求证三角形ABC是直角三角形. 在三角形abc中,已知CD垂直于AB与D,AC的平方=AD乘AB,用勾股定理证明三角形abc为直角三角形. 在三角形ABC中,AC=AB,AD⊥AB交BC于D,且∠CAD=30度,求证：BD=2CD 如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D点,且CD²=AD乘以DB,求证△ABC为直角三角形. 如图,在三角形ABC中,CD是AB边上的高,且CD²=AD乘BD,求证：三角形ABC是直角三角形吗? 在三角形abc中,cd垂直ab于d,ac的平方等于ad乘ab.求证三角形acb 是直角三角形如图,△ABC中,AD⊥BC于D,且AB+CD=AC+BD,求证△ABC为等腰三角形已知在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直AB交BC于点D.且角CAD=30度.求证BD=2CD 如图在△ABC中 AB=AC AD⊥AB 交BC于点D 且∠CAD=30° 求证 BD=2CD 如图所示,CD是三角形ABC的高,点D在AB上,且CD^2=AD乘DB.求证三角形ABC为直角三角形. 如图所示,已知CD是△ABC的高,D在AB上,且CD²=AD×DB;求证△ABC是直角三角形. 在三角形ABC中,∠ACB=90度,AC=AB,D为△ABC外一点且AD=AB,DE⊥AC交CA的延长线于E,求证：DE