灵鹊做题网数学,Z2上的多项式环 由x^2+1 和x^3+1生成的理想, 备选答案（x^4+1 x^6+1） 需要详细计算过程,谢
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 04:45:23
数学,Z2上的多项式环 由x^2+1 和x^3+1生成的理想, 备选答案（x^4+1 x^6+1） 需要详细计算过程,谢谢
其实都不是.
在一个有1的交换环中,由若干个元素a1,a2,...,an生成的理想,是包含这些元素的最小的理想.
具体来说是由全体形如r1·a1+r2·a2+...+rn·an的元素组成的集合,其中r1,r2,...,rn可取环中任意元素.
记号上常用(a1,a2,...,an)表示.
Z2是一个域,域上的一元多项式环性质比较好,是一个主理想整环(Principal Ideal Domain).
其中的理想都是主理想,即可由一个元素生成.
这个元素就是各生成元的最大公因式(可能差个非零常数倍).
更进一步,域上的一元多项式环上有带余除法,由此得到的辗转相除法可以求出最大公因式.
具体到这个例子.
先做一步除法:x³+1 = x(x²+1)+x+1,注意除法要使余式的次数小于除式,另外在Z2上1+1 = 0.
再用余式去除除式:x²+1 = (x+1)(x+1),这里除尽了.
如果没除尽就继续用余式除除式,因为余式的次数不断减小,有限步内就会除尽.
最后的除数就是二者的最大公因式(可能差个非零常数倍).
因此我们得到理想的等式:(x³+1,x²+1) = (x+1).
为了解释选项,我还考虑过理想的交(x³+1)∩(x²+1).
理想的交仍是理想,但这和生成(x³+1,x²+1)是非常不一样的.
简单说就是理想是越交越小的,但生成元越多理想越大 (当然添加已有的元素不会变大).
对于一元多项式环(主理想整环)来说,理想(P)和(Q)的交是就是理想(R),
其中R是P,Q的最小公倍式.已经求出最大公因式后,最小公倍式就很好求了.
例如由x³+1 = (x+1)(x²+x+1),x²+1 = (x+1)²,
可知二者最小公倍式为(x+1)²(x²+x+1) = x⁴+x³+x+1.
于是(x³+1)∩(x²+1) = (x^4+x³+x+1).
理想还有一种运算,即乘法,是由两个理想中元素的乘积生成的理想.
在主理想的情况比较简单,(P)(Q) = (PQ).
因此(x³+1)(x²+1) = (x^5+x³+x²+1),两个理想的乘积一定包含于两个理想的交.
实在没有办法,只能将选项解释为:属于(x³+1)∩(x²+1)的元素.
即是x³+1和x²+1的公倍式的元素,可排除x^4+1因为其不被x³+1整除.
而x^6+1 = (x²+1)(x^4+x²+1),x^6+1 = (x³+1)²是二者的公倍式.
在一个有1的交换环中,由若干个元素a1,a2,...,an生成的理想,是包含这些元素的最小的理想.
具体来说是由全体形如r1·a1+r2·a2+...+rn·an的元素组成的集合,其中r1,r2,...,rn可取环中任意元素.
记号上常用(a1,a2,...,an)表示.
Z2是一个域,域上的一元多项式环性质比较好,是一个主理想整环(Principal Ideal Domain).
其中的理想都是主理想,即可由一个元素生成.
这个元素就是各生成元的最大公因式(可能差个非零常数倍).
更进一步,域上的一元多项式环上有带余除法,由此得到的辗转相除法可以求出最大公因式.
具体到这个例子.
先做一步除法:x³+1 = x(x²+1)+x+1,注意除法要使余式的次数小于除式,另外在Z2上1+1 = 0.
再用余式去除除式:x²+1 = (x+1)(x+1),这里除尽了.
如果没除尽就继续用余式除除式,因为余式的次数不断减小,有限步内就会除尽.
最后的除数就是二者的最大公因式(可能差个非零常数倍).
因此我们得到理想的等式:(x³+1,x²+1) = (x+1).
为了解释选项,我还考虑过理想的交(x³+1)∩(x²+1).
理想的交仍是理想,但这和生成(x³+1,x²+1)是非常不一样的.
简单说就是理想是越交越小的,但生成元越多理想越大 (当然添加已有的元素不会变大).
对于一元多项式环(主理想整环)来说,理想(P)和(Q)的交是就是理想(R),
其中R是P,Q的最小公倍式.已经求出最大公因式后,最小公倍式就很好求了.
例如由x³+1 = (x+1)(x²+x+1),x²+1 = (x+1)²,
可知二者最小公倍式为(x+1)²(x²+x+1) = x⁴+x³+x+1.
于是(x³+1)∩(x²+1) = (x^4+x³+x+1).
理想还有一种运算,即乘法,是由两个理想中元素的乘积生成的理想.
在主理想的情况比较简单,(P)(Q) = (PQ).
因此(x³+1)(x²+1) = (x^5+x³+x²+1),两个理想的乘积一定包含于两个理想的交.
实在没有办法,只能将选项解释为:属于(x³+1)∩(x²+1)的元素.
即是x³+1和x²+1的公倍式的元素,可排除x^4+1因为其不被x³+1整除.
而x^6+1 = (x²+1)(x^4+x²+1),x^6+1 = (x³+1)²是二者的公倍式.
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