灵鹊做题网抽象代数高手入内,求指教.
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 05:59:59
抽象代数高手入内,求指教.
使F ≤K 是域,[K:F] = r< ∞,假设F是有限的,|F|=n,
证明：1） |K|=n^r
2）每一个K中的非零元素都是属于F[X]的多项式x^(n^r-1)-1的根
3.让a属于K-(0),假设F[a]≠K，证明有r的因数m，使得a是多项式x^(n^m-1)-1的根
使F ≤K 是域,[K:F] = r< ∞,假设F是有限的,|F|=n,
证明：1） |K|=n^r
2）每一个K中的非零元素都是属于F[X]的多项式x^(n^r-1)-1的根
3.让a属于K-(0),假设F[a]≠K，证明有r的因数m，使得a是多项式x^(n^m-1)-1的根
1) 取K的一组F-基v1,v2,...,vr,则K中元素可唯一表示为k1·v1+k2·v2+...+kr·vr.
其中k1,k2,...,kr∈F.由|F| = n,k1,k2,...,kr各有n种取法,因此共有n^r种取法.
故|K| = n^r.
2) K-{0}关于乘法构成群,由|K| = n^r,有|K-{0}| = n^r-1.
群论中有结论:若G是m阶群,g∈G,则g^m = e.
于是对任意a∈K-{0},a^(n^r-1) = 1,即a是x^(n^r-1)-1的根.
3) 由F[a] ≠ K,可设[F[a]:F] = m,则有m整除r且m < r.
对F[a]使用2)问结论,即知a是x^(n^m-1)-1的根.
4) r的小于r的约数最大为r/2,因此3)问中的m至多有r/2个,且最大为r/2.
F的m次扩域中有n^m-1个非零元素,因此3)问中的a至多有(r/2)·(n^(r/2)-1)个.
取t = r/2,由不等式t·(n^t-1) < n^(2t)-1 = n^r-1 = |K-{0}|,
可知K-{0}中必有不满足3)问条件的元素b,即有F[b] = K.
因此K/F是单扩张.
补充证明t·(n^t-1) < n^(2t)-1,对t ≥ 1与整数n ≥ 2.
由n^(2t)-1 = (n^t-1)(n^t+1),只要证t < n^t+1.
设f(t) = n^t+1-t,则f(1) > 0,且f'(t) = ln(n)·n^t-1 ≥ 0对任意t ≥ 1.
f(t)单调增,故f(t) ≥ f(1) > 0,即有t < n^t+1.
其中k1,k2,...,kr∈F.由|F| = n,k1,k2,...,kr各有n种取法,因此共有n^r种取法.
故|K| = n^r.
2) K-{0}关于乘法构成群,由|K| = n^r,有|K-{0}| = n^r-1.
群论中有结论:若G是m阶群,g∈G,则g^m = e.
于是对任意a∈K-{0},a^(n^r-1) = 1,即a是x^(n^r-1)-1的根.
3) 由F[a] ≠ K,可设[F[a]:F] = m,则有m整除r且m < r.
对F[a]使用2)问结论,即知a是x^(n^m-1)-1的根.
4) r的小于r的约数最大为r/2,因此3)问中的m至多有r/2个,且最大为r/2.
F的m次扩域中有n^m-1个非零元素,因此3)问中的a至多有(r/2)·(n^(r/2)-1)个.
取t = r/2,由不等式t·(n^t-1) < n^(2t)-1 = n^r-1 = |K-{0}|,
可知K-{0}中必有不满足3)问条件的元素b,即有F[b] = K.
因此K/F是单扩张.
补充证明t·(n^t-1) < n^(2t)-1,对t ≥ 1与整数n ≥ 2.
由n^(2t)-1 = (n^t-1)(n^t+1),只要证t < n^t+1.
设f(t) = n^t+1-t,则f(1) > 0,且f'(t) = ln(n)·n^t-1 ≥ 0对任意t ≥ 1.
f(t)单调增,故f(t) ≥ f(1) > 0,即有t < n^t+1.