灵鹊做题网一道立体几何题,无论是用坐标法还是空间向量法,
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 14:58:07
一道立体几何题,无论是用坐标法还是空间向量法,
（1）取BC的中点D,连接AD,C1D
⊿ABC是等边三角形,AD⊥BC,AD=√3/2a
侧面BCC1B1⊥底面ABC,BC为交线,则AD⊥底面ABC
AA1∥BB1,AA1∥侧面BCC1B1,则要求异面直线AA1与C1B1的距离,
可以转换为求AA1到与之平行的平面BCC1B1的距离,即AD=√3/2a
（2）由已知AC1⊥BC,AD⊥底面ABC,三垂线定理,得C1D⊥BC
侧面BCC1B1⊥底面ABC,BC为交线,所以C1D⊥底面ABC,C1D=√3/2a
以D为坐标原点,DB为X轴正向,AD延长线为Y轴,DC1为Z轴建立空间直角坐标系
则A(0,-√3/2*a,0),B(a/2,0,0),B1(a,0,√3/2*a),C1(0,0,√3/2*a)
向量AB=（a/2,√3/2*a,0）向量BB1=(a/2,0,√3/2*a)
底面ABC的法向量n1(0,0,√3/2a),即为向量DC1
设侧面ABB1A1的法向量n2(x,y,z),则向量AB*n2=0,向量BB1*n2=0
即(a/2)x+√3/2*ay=0,(a/2)x+√3/2*az=0,则y=z
令x=√3,则y=z=-1,即向量n2=(√3,-1,-1)
由已知可以判断所求二面角为钝角
所以cos=-|cos|=-|n1*n2|/|n1||n2|=-√5/5
所求二面角的大小为arccos(-√5/5)
⊿ABC是等边三角形,AD⊥BC,AD=√3/2a
侧面BCC1B1⊥底面ABC,BC为交线,则AD⊥底面ABC
AA1∥BB1,AA1∥侧面BCC1B1,则要求异面直线AA1与C1B1的距离,
可以转换为求AA1到与之平行的平面BCC1B1的距离,即AD=√3/2a
（2）由已知AC1⊥BC,AD⊥底面ABC,三垂线定理,得C1D⊥BC
侧面BCC1B1⊥底面ABC,BC为交线,所以C1D⊥底面ABC,C1D=√3/2a
以D为坐标原点,DB为X轴正向,AD延长线为Y轴,DC1为Z轴建立空间直角坐标系
则A(0,-√3/2*a,0),B(a/2,0,0),B1(a,0,√3/2*a),C1(0,0,√3/2*a)
向量AB=（a/2,√3/2*a,0）向量BB1=(a/2,0,√3/2*a)
底面ABC的法向量n1(0,0,√3/2a),即为向量DC1
设侧面ABB1A1的法向量n2(x,y,z),则向量AB*n2=0,向量BB1*n2=0
即(a/2)x+√3/2*ay=0,(a/2)x+√3/2*az=0,则y=z
令x=√3,则y=z=-1,即向量n2=(√3,-1,-1)
由已知可以判断所求二面角为钝角
所以cos=-|cos|=-|n1*n2|/|n1||n2|=-√5/5
所求二面角的大小为arccos(-√5/5)