灵鹊做题网一道积分高数题,求教!
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/14 00:35:29
一道积分高数题,求教!
f(x)在[0,1]连续可导,f(0)=0,f(1)=0,求证如图
rutu
f(x)在[0,1]连续可导,f(0)=0,f(1)=0,求证如图
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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明对任意给定的正数a和b,在(0,1)内存在不相等的实数ξ,η,使得a/f'(ξ)+b/f'(η)=a+b
因为f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1,对任正数a、b,有
a/(a+b)∈(0,1),由介值定理,存在c∈(0,1),使f(c)=a/(a+b)；
对函数f(x)分别在[0,c]与[c,1]上应用拉格朗日中值定理,有
f'(ξ)=[a/(a+b)]/c与f'(η)=[1-a/(a+b)]/(1-c)=[b/(a+b)]/(1-c)
(0
因为f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=0,f(1)=1,对任正数a、b,有
a/(a+b)∈(0,1),由介值定理,存在c∈(0,1),使f(c)=a/(a+b)；
对函数f(x)分别在[0,c]与[c,1]上应用拉格朗日中值定理,有
f'(ξ)=[a/(a+b)]/c与f'(η)=[1-a/(a+b)]/(1-c)=[b/(a+b)]/(1-c)
(0