灵鹊做题网线面角的正弦值（用几何法和建立空间直角坐标系两种方法解答）第
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 03:11:03
第32题
解题思路： 平面与平面垂直的判定与性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角。如果用建立空间直角坐标系的方法，最好是设点Ｅ为坐标原点，ＰＥ所在的轴是ｙ轴，解题思路与几何法相同。但计算量更大，不建议用建系的方法。一般处理几何问题如果直接证明没有思路的话就考虑向量的方法，比较好。
解题过程：
（1）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥BC，
由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD∈平面ABCD，
所以平面PDC⊥平面ABCD。
（2）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB
由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，
故PE⊥平面ABCD
由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，
在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2
，可得∠PCD=30°，
在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=
．
由AD∥BC，AD⊥平面PDC，
得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC
在Rt△PCB中，PB=
=
在Rt△PEB中，sin∠PBE=
=
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为
。 
解题过程：
（1）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥BC，
由于AD⊥PD，CD∩PD=D，
因此AD⊥平面PDC，而AD∈平面ABCD，
所以平面PDC⊥平面ABCD。
（2）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB
由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，
故PE⊥平面ABCD
由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角，
在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2
，可得∠PCD=30°，在Rt△PEC中，PE=PCsin30°=
．由AD∥BC，AD⊥平面PDC，
得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC
在Rt△PCB中，PB=
=在Rt△PEB中，sin∠PBE=
=所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为
。