灵鹊做题网什么叫共轭矩阵,请举例说明
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 20:16:46
什么叫共轭矩阵,请举例说明
共轭矩阵
又称Hermite阵.Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等.埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是 ai,j=a*j,i.
对于
A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n}
有：
a_{i,j} = \overline{a_{j,i}},其中\overline{(\cdot)}为共轭算符.
记做：
A = A^H \quad
例如：
\begin
3&2+i\\ 2-i&1 \end
就是一个Hermite阵.
显然,Hermite阵主对角线上的元素必须是实数.对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵）,如果它是对称阵,即所有元素关于主对角线对称,那么它也是Hermite阵.也就是说,实对称阵是Hermite阵的特例.
性质
若A 和B 是Hermite阵,那么它们的和A+B 也是Hermite阵；而只有在A 和B满足交换性（即AB = BA）时,它们的积才是Hermite阵.
可逆的Hermite阵A 的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵.
如果A是Hermite阵,对于正整数n,An是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的和C + C^*是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的差C - C^*是skew-Hermite阵.
任意方阵C 都可以用一个Hermite阵A 与一个skew-Hermite阵B的和表示:
C = A+B \quad\mbox\quad A = \frac(C + C^*) \quad\mbox\quad B = \frac(C - C^*).
Hermite阵是正规阵,因此Hermite阵可被酉对角化,而且得到的对角阵的元素都是实数.这意味着Hermite阵的特征值都是实的,而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交,因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基.
n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间,因为主对角线上的元素有一个自由度,而主对角线之上的元素有两个自由度.
如果Hermite阵的特征值都是正数,那么这个矩阵是正定阵,若它们是非负的,则这个矩阵是半正定阵.
Hermite序列
Hermite序列（抑或Hermite向量）指满足下列条件的序列ak（其中k = 0,1,…,n）：
\Im(a_0) = 0 \quad \mbox \quad a_k = \overline{a_} \quad \mbox k=1,2,\dots,n.
若n 是偶数,则an/2是实数.
实数序列的离散傅里叶变换是Hermite序列.反之,一个Hermite序列的逆离散傅里叶变换是实序列.
又称Hermite阵.Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等.埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是 ai,j=a*j,i.
对于
A = \{ a_{i,j} \} \in C^{n \times n}
有：
a_{i,j} = \overline{a_{j,i}},其中\overline{(\cdot)}为共轭算符.
记做：
A = A^H \quad
例如：
\begin
3&2+i\\ 2-i&1 \end
就是一个Hermite阵.
显然,Hermite阵主对角线上的元素必须是实数.对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵）,如果它是对称阵,即所有元素关于主对角线对称,那么它也是Hermite阵.也就是说,实对称阵是Hermite阵的特例.
性质
若A 和B 是Hermite阵,那么它们的和A+B 也是Hermite阵；而只有在A 和B满足交换性（即AB = BA）时,它们的积才是Hermite阵.
可逆的Hermite阵A 的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵.
如果A是Hermite阵,对于正整数n,An是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的和C + C^*是Hermite阵.
方阵C 与其共轭转置的差C - C^*是skew-Hermite阵.
任意方阵C 都可以用一个Hermite阵A 与一个skew-Hermite阵B的和表示:
C = A+B \quad\mbox\quad A = \frac(C + C^*) \quad\mbox\quad B = \frac(C - C^*).
Hermite阵是正规阵,因此Hermite阵可被酉对角化,而且得到的对角阵的元素都是实数.这意味着Hermite阵的特征值都是实的,而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交,因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基.
n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间,因为主对角线上的元素有一个自由度,而主对角线之上的元素有两个自由度.
如果Hermite阵的特征值都是正数,那么这个矩阵是正定阵,若它们是非负的,则这个矩阵是半正定阵.
Hermite序列
Hermite序列（抑或Hermite向量）指满足下列条件的序列ak（其中k = 0,1,…,n）：
\Im(a_0) = 0 \quad \mbox \quad a_k = \overline{a_} \quad \mbox k=1,2,\dots,n.
若n 是偶数,则an/2是实数.
实数序列的离散傅里叶变换是Hermite序列.反之,一个Hermite序列的逆离散傅里叶变换是实序列.