灵鹊做题网一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证：方程f(x)=0没有整数根
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/09 17:08:51
一道高中数论题
设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证：方程f(x)=0没有整数根
设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证：方程f(x)=0没有整数根
证：
先证明一个引理：对于x的整系数多项式f(x)以及不同的两个整数a,b,有a-b|f(a)-f(b)
f(a)-f(b)的常数项为0
设f(x)中含有p·x^j这一项,其中j≥1,由a-b|a^j-b^j可得,a-b|pa^j-pb^j
即a-b整除f(a)-f(b)中每一组同次对应项的差,于是引理得证
回到原题
设f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=±17,其中a,b,c,d,e为互不相同的整数
设f(x)=0,显然x≠a,b,c,d,e,我们只需证明x不为整数
假设x为整数
则x-a,x-b,x-c,x-d,x-e为互不相同的整数
由引理,有x-a|f(x)-f(a),x-b|f(x)-f(b),…,x-e|f(x)-f(e)
所以x-a| |f(x)-f(a)|,x-b| |f(x)-f(b)|,…,x-e| |f(x)-f(e)|
而|f(x)-f(a)|=|f(x)-f(b)|=…=|f(x)-f(e)|=17
所以x-a,x-b,x-c,x-d,x-e都为17的约数
但17只有4个约数,即±1,±17
所以x-a,x-b,x-c,x-d,x-e不可能互不相同,矛盾
故原假设错误,即x不为整数
证毕
先证明一个引理：对于x的整系数多项式f(x)以及不同的两个整数a,b,有a-b|f(a)-f(b)
f(a)-f(b)的常数项为0
设f(x)中含有p·x^j这一项,其中j≥1,由a-b|a^j-b^j可得,a-b|pa^j-pb^j
即a-b整除f(a)-f(b)中每一组同次对应项的差,于是引理得证
回到原题
设f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=±17,其中a,b,c,d,e为互不相同的整数
设f(x)=0,显然x≠a,b,c,d,e,我们只需证明x不为整数
假设x为整数
则x-a,x-b,x-c,x-d,x-e为互不相同的整数
由引理,有x-a|f(x)-f(a),x-b|f(x)-f(b),…,x-e|f(x)-f(e)
所以x-a| |f(x)-f(a)|,x-b| |f(x)-f(b)|,…,x-e| |f(x)-f(e)|
而|f(x)-f(a)|=|f(x)-f(b)|=…=|f(x)-f(e)|=17
所以x-a,x-b,x-c,x-d,x-e都为17的约数
但17只有4个约数,即±1,±17
所以x-a,x-b,x-c,x-d,x-e不可能互不相同,矛盾
故原假设错误,即x不为整数
证毕
f(x)是一个整系数多项式,若f(0),f(1)都是奇数,求证f(x)不可能有整数根
整系数多项式f(x)满足f(2009)f(2010)=2011,请您证明f(x)=0没有整数根
数论题,求解.设f(x)为一多项式,a,b,c,d为整数.已知f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7, 求证：不存在
设f(x)是首项系数为1的整系数多项式,f(-1),f(0),f(1)都不能被3整除.证明：f(x)没有有理根
设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实数根,则f'(x)=2x-2
设函数f（ x）=a^2x^2（a>0)关于x的不等式（x-1)^2>f （x）的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范
一个多项式的证明题：设整系数多项式f(x)对无限个整数值x的函数值都是素数,则 f(x)在有理数域上不可约.
高等代数题（多项式）证明:设 f(x)是整系数多项式,且 f(1)=f(2)=f(3)=p,,则不存在整数m,使 f(m
设y=f(x)是二次函数,方程y=f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+2.
我想问一道数学题：若f(x)可导,f(x)的导数与f(x)相等,f(0)=1,求证f(x)=e^x
在线等设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实数根,则f'(x)=2x+2,求y=f(x)的表达式
已知以正整数a为二次项系数的整数系数二次三项式f(x),若f(x）=0有两个不相等且小于1的正实数根,求证a>4