已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③当x1,x
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/24 11:48:00
已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③当x1,x2≥0,x1+x2≤1时有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)求函数f(x)的最大值;
(3)证明:当x∈(
(1)求f(0)的值;
(2)求函数f(x)的最大值;
(3)证明:当x∈(
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(1)令x1=1,x2=0,则f(1+0)≥f(1)+f(0),∴f(0)≤0,
又∵于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,∴f(0)≥0,
∴f(0)=0
(2)任取0≤x1<x2≤1,可知x2-x1∈(0,1],则f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)≥0
故f(x2)≥f(x1),∴定义域为[0,1]的函数f(x)为增函数,
于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1,
故当x=1时,f(x)有最大值1.
(3)证明:当x∈(
1
2,1]时,由(2)知f(x)≤1,而2x>2×
1
2=1
∴f(x)<2x
当x∈[0,
1
2]时,2x≤1,f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),
∴f(x)≤
1
2f(2x)
又∵于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0,∴f(0)≥0,
∴f(0)=0
(2)任取0≤x1<x2≤1,可知x2-x1∈(0,1],则f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)≥0
故f(x2)≥f(x1),∴定义域为[0,1]的函数f(x)为增函数,
于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1,
故当x=1时,f(x)有最大值1.
(3)证明:当x∈(
1
2,1]时,由(2)知f(x)≤1,而2x>2×
1
2=1
∴f(x)<2x
当x∈[0,
1
2]时,2x≤1,f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x),
∴f(x)≤
1
2f(2x)
快,详解··21.已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足①对于任意的x∈[0,1],总有f(x) ≥0,②f⑴=1
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今晚,快 详解···21.已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足①对于任意的x∈[0,1],总有f(x) ≥0,②
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