线性代数中有关线性方程组的一个小问题

线性代数中有关线性方程组的一个小问题
A是m*n矩阵,线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩,为什么说“亦等同于A的列向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b是等价向量组”?

列向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b等价,
则b一定可由向量组a1,a2,...an线性表出,于是
r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)
再问： 嗯，对！ 但是等秩的向量组不一定等价，由r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)推不出这两个向量组等价吧?那“A的列向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b是等价向量组”只能是“A是m*n矩阵，线性方程组Ax=b有解”的充分条件吧？ 而题目说“亦等同于”就表示该命题应是充分必要条件。请问必要条件怎么证明呢？
再答： 列向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b等价, 则 r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b). 反之，若 r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)，则 b一定可由a1,a2,...an线性表示 （因为b若不能被a1,a2,...an线性表示， 则b和向量组a1,a2,...an的极大无关组线性无关， r(a1,a2,...an,b)＝r(a1,a2,...an)+1, 矛盾）。 从而向量组a1,a2,...an与向量组a1,a2,...an,b可互相表示， 即为等价。 有些绕。
再问： 你说的（因为b若不能被a1,a2,...an线性表示......线性无关" 是指m个向量无关，m+1个相关，多出来的那个能被m个表示。（定理） 现在b不能由向量组a1,...an线性表示，即不能由它的极大无关组线性表示（因为向量组和它的极大无关组等价），这一步没错吧？ 而设线性无关组为c1,c2,..cs，它是线性无关的，所以向量组c1,c2,...cs，b线性无关。 您的意思是这个吧？我的理解没错吧？
再答： 用你的记号重新顺一下吧。 引理1 若r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)，则b一定可由a1,a2,...an线性表示。 证明：记c1,c2,..cs是a1,a2,...an极大无关组， 显然，若c1,c2,..cs，b线性无关，则与已知矛盾。 于是，c1,c2,..cs，b线性相关。 根据定理：s个向量无关，s+1个相关，多出来的那个能被s个无关的向量表示， 结论成立。 定理 根据引理1，若r(a1,a2,...an)=r(a1,a2,...an,b)，则 向量组a1,a2,...an和向量组a1,a2,...an,b等价。
再问： 明白了，谢谢您。不过麻烦您再看一下两点吧。（因为数学是一门严谨的科学，所以我想每一环都弄懂，呵呵）由于字数限制，请看图。原谅我的啰嗦。。。万分感谢！
再答：  -0.5<x<0,  0<y<1,   => 0<|xy|<0.5现在，0<|xy|<0.5,    且0<y<1， 一定有：-0.5<x<0？？？2.  。。。 
再问： 不是，你理解错了。按照我说的， 你给的例子应该是： |xy|大于等于0.5或者|xy|小于等于0，且0小于y小于1时；是否一定有x大于等于0或者x小于等于负0.5？