已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 04:54:13

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明之；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明之．

解（Ⅰ）函数f（x）为奇函数．…（2分）
证明：∵函数f（x）的定义域为R，而在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y为-x，
则有f（0）=f（x）+f（-x）…（4分）
又将x，y都取0代入得f（0）=0，即：f（-x）=-f（x），
又由x在R中的任意性可知，函数f（x）为奇函数．…（6分）
（Ⅱ）函数f（x）在R上为单调减函数…（8分）
证明：在R上任取x₁，x₂，且令△x=x₁-x₂＞0，
由△y=f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（△x）+f（x₂）-f（x₂）=f（△x）…（10分）
又由题可知当x＞0，f（x）＜0，故f（△x）＜0，从而△y＜0，
这样就说明了函数f（x）在R上为单调减函数．…（12分）

已知函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1且当x＞0时f（x）>1,f(3)=4(1) 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x,y恒有f（x)+f（y)=f(x+y),且当x>0时,f（x）已知函数f（x）对任意实数x,y∈R,总有f（x）+f（y）=f(x+y),且当x大于0时,f(x）小于0,f(1)=- 已知函数f（x）对任意实数x,y都有f（xy）=f（x）*f（y）,且f(-1)=1,f(27)=0,当0≤x＜1时,f 已知函数f(X)对任意X,Y属于R,总有f（X）+f(Y)=f(X+Y),且当X＞0时,f（X）＜0,f（1）=-三分之已知函数f（x）的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0. 高一函数【奇偶性】已知函数f（x）对一切实数x,y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）,且当x＞0时,f（x）＜0, 函数 f（x）对任意实数x,y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1,且当x 已知函数f（x）对任意x、y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＜0时,f（x)＜0,f(1)＜－2∕3. 已知f(x)对任意x、y（属于R）满足f(x)+f(y)=f(x+y) 且当x>0时,f(x) 已知函数f（x）对任意的实数x,y都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1,且x 已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x＞0都有f（x）＜0