设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y=X^2+PX+(K+1)P-4的图象与x轴交点至少有一横坐标有一整数,求k

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/16 17:50:06

设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y=X^2+PX+(K+1)P-4的图象与x轴交点至少有一横坐标有一整数,求k
由题意知：方程X^2+PX+(K+1)P-4＝0的两根x1、x2中至少有一个为整数.
由根与系数的关系可知,x1＋x2＝－P,x1x2＝(K+1)P-4,从而有
(x1+2)(x2+2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝(k－1)P （a）
（1）、若k＝1,则方程有两个整数根,－2和2－P
（2）、若k>1,则k－1>0
因为,x1＋x2＝－P为整数,如果x1、x2中至少有一个为整数,则x1、x2都是整数.
又因为P为质数,由（a）式可知,P能整除x1＋2或是x2＋2
不妨设 p能整除x1＋2,则可设x1＋2＝mP(m为非零整数),
由（a）式可得x2＋2＝(k－1)/m
故（x1＋2）＋（x2＋2）＝mP＋(k－1)/m,即x1＋x2＋4＝mP＋(k－1)/m
又x1＋x2＝－P
所以,－P＋4＝mP＋(k－1)/m,即
(m+1)P＋(k－1)/m＝4 （b）
如果m为正整数,则(m+1)P>=(1+1)×3＝6,(k－1)/m>0,
从而 (m+1)P＋(k－1)/m>6,与（b）式矛盾
如果m为负整数,则(m+1)P

x1＋x2＝－P,x1x2＝(K+1)P-4,从而有
(x1+2)(x2+2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝(k－1)P
答案中的“(x1+2)(x2+2)＝”是为了把等式x1x2＝(K+1)P-4中的实数4消掉,只余下代数式方便后面的讨论
再问：那是不是说为了把4消掉就用了“(x1+2)(x2+2)＝”只是凭的经验？用凑出来的？
再答：一般遇到这种讨论性的问题都会凭经验把纯实数项消掉方便讨论，可以说是经验之谈，但初学者需要通过自己的拼凑才能找到最佳结果
再问：唉，这也太难了吧，谢谢你哦，还有其他更简单的解法吗？

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