已知圆S和121条弦p1,p2……,p121,在每条弦pi的内部各有一点Ai.

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 07:51:42

已知圆S和121条弦p1,p2……,p121,在每条弦pi的内部各有一点Ai.
已知圆S和121条弦p1,p2……,p121,在每条弦pi的内部各有一点Ai,证明：
在圆周上存在一点X,使得至少有29个不同的下标i,满足AiX与pi的夹角小于21°.

对每条弦p（MN）以及里面的一点A做QR和ST两条弦,与p呈21度角,即角QAM=角MAS=角RAN=角NAT=21度.
考虑弧QS和弧TR（下面称它们为张角弧）的长度之和,角QRS+角TSR=角TAR=角RAN+角NAT=21+21=42度,因此弧QS和弧TR的圆心角之和=42×2=84度,这个值和MN位置与点A位置无关.
对于每个弦,都可以做出这样的QS和TR,容易看出此张角弧内的点X皆满足XA和p夹角小于21度.
然后算一下,圆周上能不能有29条弦,它们的张角弧覆盖圆周上同一区域.如果是,根据张角弧的性质,那问题就被解决了.
算下圆心角就明白了,84×121/360~=28.2>28,因此由抽屉原理,一定会有29条弦的张角弧覆盖同一区域的.
证明完毕,收工.
觉得证明的好就加点分吧,看我码字画图辛苦.
再问：这里总度数不应该是小于84×121吗，那么最后就是小于28、2，也未必大于28啊！我的意思就是前面的84是算出最大情况，那么后面不就是每个小于84了，为何以84来算？谢谢，。
再答：所有121对张角弧对圆周某一区域有一个29重的覆盖，就证明完毕了。所以算圆心角，用抽屉原理就证完了。我算的是范围，不要和“小于21度”混淆了。

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