在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x 2 +（k-1）x+2k-1的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 12:45:06

（1）∵k是方程p² -p-2=0的根，
∴k=-1，或k=2．
又k＜0，
∴k=-1．
∴此二次函数的解析式为：y=x² -2x-3．
令y=0得x₁ =-1，x₂ =3
∵点A在点B的左侧
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）假设满足条件的直线l存在
过点D作DE⊥x轴于点E

∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，-3）
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°
∴BC= 3
2
要使以B、O、D为顶点的三角形与△ABC相似，已有∠OBD=∠ABC，
则只需
OB
AB =
DB
CB ①，或
OB
CB =
DB
AB ②成立即可．
①当
OB
AB =
DB
CB 时
有BD=
OB•BC
AB =
9
2
4 ．
在Rt△BDE中，
DE=BD•sin45°=
9
4 ，BE=BD•cos45°=
9
4
∴OE=OB-BE=3-
9
4 =
3
4 ．
∵点D在x轴的下方，
∴点D的坐标为（
3
4 ， -
9
4 ）．
将点D的坐标代入l：y=mx（m≠0）中，求得m=-3
∴满足条件的直线l的函数解析式为y=-3x．

②当
OB
BC =
DB
AB 时
有BD=
OB•AB
BC =2
2
同理可得：BE=DE=2，OE=OB-BE=3-2=1
∵点D在x轴下方
∴点D的坐标为（1，-2）．
将点D的坐标代入y=mx（m≠0）中，求得m=-2
∴满足条件的直线l的函数解析式为y=-2x．
∴综上所述满足条件的直线l的解析式是：y=-3x或y=-2x；
点D的坐标为（
3
4 ， -
9
4 ）或（1，-2）．