如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-3,0）、B（1,0）两点,与y轴相交点C（0,3 ）

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 08:56:25

如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-3,0）、B（1,0）两点,与y轴相交点C（0,3 ）．

1）求该二次函数解析式；
（2）连接AC、BC,点M、N分别是线段AB、BC上的动点,且始终满足BM=BN,连接MN．
①将△BMN沿MN翻折,B点能恰好落在AC边上的P处吗?若能,请判断四边形BMPN的形状并求出PN的长；若不能,请说明理由．
②将△BMN沿MN翻折,B点能恰好落在此抛物线上吗?若能,请直接写出此时B点关于MN的对称点Q的坐标；若不能,请说明理由

如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-3,0）、B（1,0）两点,与y轴相交点C（0,3 ）

（1）C(0,√3）代入函数可得,c=√3,y=ax²+bx+√3,A(－3,0),代入函数有9a-3b+√3=0,x=－4和x=2时二次函数的函数值等,则有16a-4b+c=4a+2b+c
联立两个方程可求得y=-√3/3(x²)-2√3/3(x)+√3
（2）求得B （1,0）,BMN显然为一个等腰三角形,因此根据对称性,PB⊥MB,设M(1-t,0）,BN=t,因此N往x轴做垂线,因为COB这个三角形三个角为30°,60°,90°,再利用横纵坐标的几何意义,可求得N点的坐标为（1-t/2,√3/2(t)),利用斜率公式求得,斜率Kmn=√3,Kpb=y/(x-1),两个斜率之积为-1则垂直,同时y=-√3/3(x²)-2√3/3(x)+√3,方程联立
可得P（-2,√3）or（1,0）,根据题意,p应该为（-2,√3）,利用MN中点与PB中点重合,可求得t=2..
此时N点与C点重合,对称轴为x=-1,计算可得,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠CBA=60°,通过画图观察,容易知道Q点只可能位于AC上,或者位于AB下方.
当Q点位于AC上时,容易得到此时的BQN为一个30,60,90的直角三角形,Q（-1,2√3/3）.
当Q点位于AB下方时,∠CBQ=90°,假设相似,那么若∠QCB=30°,BQ=2√3/3,设对称轴与x轴交点为R,则RB=2,RB>QB,矛盾,若∠CQB=30°,AC=BQ=2√3,则ACB和QNB全等,满足要求,此时Q（-1,-2√2）,所以存在Q点,并且有两个,Q（-1,-2√2）orQ（-1,2√3/3）.