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已知f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=2，当x＞0时，f（x）＜0

来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 20:10:46
已知f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=2，当x＞0时，f（x）＜0
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）证明f（x）为R上的减函数；
（3）解不等式f（x-1）-f（1-2x-x2）＜4．
已知f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=2，当x＞0时，f（x）＜0
（1）证明，依题意取x=y=0有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，…1分
又取y=-x可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）（x∈R），即f（x）+f（-x）=0（x∈R）
∴f（-x）=-f（x）（x∈R）…3分
由x的任意性可知f（x）为奇函数…4分
（2）证明：设x1＜x2，则x2=x1+（x2-x1），…5分
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）…7分
∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）为R上的减函数；
（3）依题意有f（2）=f（1）+f（1）=4…9分
∴不等式可化为f（x-1）-f（1-2x-x2）＜f（2），即f（x-1）＜f（1-2x-x2）+f（2），
∴f（x-1）＜f（3-2x-x2），…10分
∵f（x）为R上的减函数，
∴x-1＞3-2x-x2解得x＜-4或x＞1…11分
∴不等式的解集为：{x|x＜-4或x＞1}…12分
高一函数【奇偶性】已知函数f（x）对一切实数x,y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）,且当x＞0时,f（x）＜0, 已知函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1且当x＞0时f（x）>1,f(3)=4(1) 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(x)=(x+2y=1)成立,且f(x）=0 已知函数f（x）对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y). 已知函数f（x）对于一切x,y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）,且当x>0时f（x）< f（1）= -2 已知函数f（x）对任意实数x,y都有f（xy）=f（x）*f（y）,且f(-1)=1,f(27)=0,当0≤x＜1时,f 已知函数f(x)对一切实数x.y,都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0.（一）,求f(0) 已知函数f（x）对任意x、y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＜0时,f（x)＜0,f(1)＜－2∕3. 已知函数f(x）对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值 已知函数f（x）对一切实数x,y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）,且当x>0时,f（x） 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)对一切实数x、y都成立,且f（0）不等于0,求证：f（x）是偶函数 已知函数f（x）对一切实数x、y都有f（x+y）-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0,