已知函数f(x)=ax•lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0(e为自然对数的底)
来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/12 13:47:01
已知函数f(x)=ax•lnx+b(a,b∈R),在点(e,f(e))处的切线方程是2x-y-e=0(e为自然对数的底).
(1)求实数a,b的值及f(x)的解析式;
(2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值;
(3)若关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,求实数k的取值范围.
(1)求实数a,b的值及f(x)的解析式;
(2)若t是正数,设h(x)=f(x)+f(t-x),求h(x)的最小值;
(3)若关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,求实数k的取值范围.
(1)依题意有2e-f(e)-e=0,∴f(e)=e
∵f(x)=ax•lnx+b,∴f′(x)=alnx+a+b
∴f′(e)=alne+a+b=2,∴2a+b=2,∴b=2-2a
∵点(e,f(e))在函数f(x)=ax•lnx+b上
∴f(e)=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e,∴a=1
∴b=0,∴f(x)=xlnx;
故实数a=1,b=0,f(x)=xlnx …(4分)
(2)h(x)=f(x)+f(t-x)=xlnx+(t-x)ln(t-x),h(x)的定义域为(0,t);…(5分)
h′(x)=lnx+1-[ln(t-x)+1]=ln
x
t−x …(6分)
由h′(x)>0得
t
2<x<t;h′(x)<0得0<x<
t
2…(8分)
∴h(x)在(
t
2,t)上是增函数,在(0,
t
2)上是减函数
∴h(x)min=h(
t
2)=tln
t
2…(10分)
(3)∵xlnx+(6-x)ln(6-x)=f(x)+f(6-x)=h(x)
由(2)知,h(x)min=h(
t
2)=tln
t
2,∴t=6,h(x)min=h(3)=6ln3=ln729
∵关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,
∴ln(k2-72k)≤ln729
∴
k2−72k>0
k2−72k≤729
∴-9≤k<0或72<k≤81…(13分)
故实数k的取值范围为[-9,0)∪(72,81].…(14分)
∵f(x)=ax•lnx+b,∴f′(x)=alnx+a+b
∴f′(e)=alne+a+b=2,∴2a+b=2,∴b=2-2a
∵点(e,f(e))在函数f(x)=ax•lnx+b上
∴f(e)=aelne+b=ae+b=e
∴ae+2-2a=e,∴a=1
∴b=0,∴f(x)=xlnx;
故实数a=1,b=0,f(x)=xlnx …(4分)
(2)h(x)=f(x)+f(t-x)=xlnx+(t-x)ln(t-x),h(x)的定义域为(0,t);…(5分)
h′(x)=lnx+1-[ln(t-x)+1]=ln
x
t−x …(6分)
由h′(x)>0得
t
2<x<t;h′(x)<0得0<x<
t
2…(8分)
∴h(x)在(
t
2,t)上是增函数,在(0,
t
2)上是减函数
∴h(x)min=h(
t
2)=tln
t
2…(10分)
(3)∵xlnx+(6-x)ln(6-x)=f(x)+f(6-x)=h(x)
由(2)知,h(x)min=h(
t
2)=tln
t
2,∴t=6,h(x)min=h(3)=6ln3=ln729
∵关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)≥ln(k2-72k)对一切x∈(0,6)恒成立,
∴ln(k2-72k)≤ln729
∴
k2−72k>0
k2−72k≤729
∴-9≤k<0或72<k≤81…(13分)
故实数k的取值范围为[-9,0)∪(72,81].…(14分)
已知函数f(x)=e的x次方(ax+b)的图像在点p(0.f(0))处的切线方程y=3x+1(e为自然对数的底数) (1
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3
已知函数f(X)=(aX^2+X)e^x,其中e是自然对数的底数,a属于R.(1)若f(x)在[
已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=ax-lnx, x∈(0,e],其中e为自然常数,a∈R.当a=1时,求f(x)在(2,f(2))处的
已知函数f(x)=ax^2+x/e-lnx(其中a为常数,e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=ax+blnx+c(a,b,c是常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0,且f(1)=0
已知函数f(x)-ax+xlnx的图像在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若函数
已知a属于R,函数f(x)=(-x^2+ax)e^x (x属于R,e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0)其中e是自然对数的底数,a∈R
已知函数f(x)=e的x平方(ax+b)-x的平方-4x,曲线y=f(x).在点(0,f,(0))处的切线方程为y=4x
已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数).