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已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极小值,则实数a的取值范围是____

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 11:32:23
已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极小值,则实数a的取值范围是______.
已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极小值,则实数a的取值范围是____
由f′(x)=a(x+1)(x-a)=0,
解得a=0或x=-1或x=a,
若a=0,则f′(x)=0,此时函数f(x)为常数,没有极值,故a≠0.
若a=-1,则f′(x)=-(x+1)2≤0,此时函数f(x)单调递减,没有极值,故a≠-1.
若a<-1,由f′(x)=a(x+1)(x-a)>0得a<x<-1此时函数单调递增,
由f′(x)=a(x+1)(x-a)<0得x<a或x>-1此时函数单调递减,即函数在x=a处取到极小值,满足条件.
若-1<a<0,由f′(x)=a(x+1)(x-a)>0得-1<x<a此时函数单调递增,
由f′(x)=a(x+1)(x-a)<0得x<-1或x>a,此时函数单调递减,即函数在x=a处取到极大值,不满足条件.
若a>0,由f′(x)=a(x+1)(x-a)>0得x<-1或x>a此时函数单调递增,
由f′(x)=a(x+1)(x-a)<0得-1<x<a,此时函数单调递减,即函数在x=a处取到极小值,满足条件.
综上:a<-1或a>0,
故答案为:a<-1或a>0