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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABE和△ACD都是等边三角形,BF=FE,DF与AC相交于点

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 16:07:11
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABE和△ACD都是等边三角形,BF=FE,DF与AC相交于点M,求证:AM=MC.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ABE和△ACD都是等边三角形,BF=FE,DF与AC相交于点
证明:如图,连AF,FC,
∵△ABE是等边三角形,BF=EF,
∴AF是∠BAE的平分线,
∴∠BAF=∠BAE=
1
2×60°=30°,
∵∠BAC=30°,
∴∠BAF=∠BAC=30°,
在△ABF和△ABC中,

∠BAF=∠BAC
∠AFB=∠ACB=90°
AB=AB,
∴△ABF≌△ABC(AAS),
∴AF=AC,
∵∠FAC=∠BAF+∠BAC=30°+30°=60°,
∴△AFC是等边三角形,
又∵△ACD是等边三角形,
∴AF=FC=CD=AD=AC,
∴四边形AFCD是菱形,
∴AM=MC.