（1）证明：a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.

（1）证明：a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.
（2）证明：一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.

(1) a^3与a^23末两位数字相同即a^23-a^3能被100整除.
只需证明a^23-a^3能被4和25整除.
注意恒等式: a^23-a^3 = a^3(a^20-1)
= a^3(a^10-1)(a^10+1)
= a^3(a^5-1)(a^5+1)(a^10+1).
若a被2整除, 则a^2被4整除.
而a^23-a^3被a^2整除, 故a^23-a^3被4整除.
若a不被2整除, 则a^5-1, a^5+1都被2整除, 故(a^5-1)(a^5+1)被4整除.
而a^23-a^3被(a^5-1)(a^5+1)整除, 故同样有a^23-a^3被4整除.
因此a^23-a^3一定被4整除.
关于25先证明一个小结论:
当k为整数, (5k+1)^5-1与(5k-1)^5+1都被25整除.
学过二项式定理或者不怕计算的话可以直接展开, 分别得到:
3125k^5+3125k^4+1250k^3+250k^2+25k与3125k^5-3125k^4+1250k^3-250k^2+25k,
显然都被25整除.
熟悉同余性质的话可以用a^5+b^5 = (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4).
(5k+1)^5-1 = 5k((5k+1)^4+(5k+1)^3+(5k+1)^2+(5k+1)+1),
而用同余形式容易证明(5k+1)^4+(5k+1)^3+(5k+1)^2+(5k+1)+1被5整除,
即得(5k+1)^5-1被25整除.
(5k-1)^5+1 = 5k((5k-1)^4-(5k-1)^3+(5k-1)^2-(5k-1)+1)与此类似.
若a被5整除, 则a^2被25整除.
而a^23-a^3被a^2整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余1, 则可设a = 5k+1, 于是a^5-1被25整除.
而a^23-a^3被a^5-1整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余4, 则可设a = 5k-1, 于是a^5+1被25整除.
而a^23-a^3被a^5+1整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余2或3, 则a^2除以5余4, 可设a^2 = 5k-1, 于是a^10+1被25整除.
而a^23-a^3被a^10+1整除, 故a^23-a^3被25整除.
因此a^23-a^3一定被25整除.
综合两方面即得结论.
注: 如果学过Fermat-Euler定理, 当a不被5整除时, 可直接得到a^20-1被25整除.
(2) 设6位数m各位依次为a, b, c, d, e, f, 即m = 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f.
变换后得到n = 100000f+10000a+1000b+100c+10d+e.
10n-m = 1000000f-f = 999999f = 999·1001f = 27·37·7·11·13f被7和37整除.
于是当m被7(或37)整除, 可得10n也被7(或37)整除, 于是n也被37整除.