为什么d²y/dx²表示二阶导数

为什么d²y/dx²表示二阶导数
主要是不知道为什么第一个平方在d上,第二个平方在x上,d²y是不是（dy）²的意思.
dx²是d（x²）还是（dx）²

该问题问得很好,值得认真考虑一下.首先搞清d²y/dx²的含义,如果设y=f(x),则做为一个整体的符号d²y/dx²表示f(x)的2阶导数,由dy/dx表示f(x)的1阶导数,故
d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
如果将d²y/dx²看成d(dy/dx)/dx的缩写形成,估计并没有解决你的疑惑,为什么将d(df/dx)/dx写成d²y/dx²而不写成d²y/d²x或dy²/d²x呢?
正象1阶导数dy/dx一样,整体上表示了y=f(x)的1阶导数,另外它也可以看为一个通常意义下的分式,即1阶导数表示为两个微分dy与dx的比值,1阶导数是两个变元微分的比,d表示函数微分的符号,dy表示函数的微分,一个函数的微分定义为它的1阶导数乘以自变元的改变量,如果y=f(x),x是自变元,则dy=f′(x)△x,x可看成其自身的函数,此时dx=△x,则有dy=f′(x)dx,这样用dy/dx表示1阶导数f′(x)是方便的,df/dx可做为分数进行运算,并具有所谓的微分的不变性,如果x不是自变元,它又是t的函数x=g(t),则dx=g′(t)dt,此时
dy/dx=( f′(x)dx)/dx=( f′(x)g′(t)dt)/ (g′(t)dt)= f′(x),
dy/dt= (dy/dx)×(dx/dt)
该式左边整体上表示了y对t的导数,由求导的链式法则可知dy/dt= f′(x)g′(t),这也恰好等于右边.
现在来回答你的问题,2阶导数d²y/dx²能否象1阶导数dy/dx看成一个通常分式呢?它的分子分母是否有独立的意义?如果有独立意义,各代表什么含义,如果没有独立意义为什么要写成这种形式?下面给出肯定的回答,2阶导数d²y/dx²象1阶导数dy/dx一样其分子分母具有独立的意义,分子中的 d²y=d(dy)表示函数y的微分的微分(称为2阶微分),由微分定义d²y表示dy的导数乘以自变元的微分,dy=f′(x)dx,故
d²y=d(f′(x)dx)= (f′(x)dx) ′dx= (f″(x)dx+f′(x)(dx)′)dx
如果x是自变元,则(dx)′=0,故上式化为
d²y=d(f′(x)dx)=(f″(x)dx)dx= f″(x)(dx)2
由此得 d²y/(dx)2= f″(x)
从而可看出f″(x)=d²y/(dx)2,即y对x的2阶导数等于y的微分的微分比上x的微分的平方,即d²y/dx²中分子代表d²y=d(dy),即d²y表示函数y的微分的微分(2阶微分),分母代表dx²=(dx)2,即x微分的平方,提请注意的是dx²不表示为x2的微分,更不表示为x的微分的微分.
从上面可看出d²y/dx²表示f(x)的2阶导数并不是任意规定的,不过这种表示法仅当x是自变元时,d²y/(dx)2才表示y对x的2阶导数,当x不是自变元时,该式d²y/dx²就不等于y对x的2阶导数了,2阶导数d²y/dx²这种表示不具有所谓的微分的不变性.
例y=x3+2x+5,y的1阶导数y′=3x2+2,y的2阶导数y″=6x,
y的1阶微分dy=(3x2+2)dx,
y的2阶微分d(dy)=((3x2+2)dx)′dx=(6xdx)dx=6x(dx)2,
故d(dy)/(dx)2=6x=y″.