柯西函数方程 f(xy)=f(x)* f(y)

来源：学生作业帮编辑：灵鹊做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 20:01:32

指函数方程f(x+y)=f(x)+f(y) x,y属于R
f(x)为单调函数,（或连续函数）
下面我举个例子说明.
证明若f(x)≥0,且f²(x+y)=f²(x-y)=2[f²(x)+f²(y)],则f(x)=a|x| (a>0)
首先,f(x)=0满足条件,而且第一个=应为+
因为f(y)=f(-y),f(0)=0,所以可以只考虑x>0情况
设f(1)=a>0 (如果f(1)=0,则f(x)=0),f(2)=f(1+1)=2a,
以次类推,f(2^n)=(2^n)a.
用样可以证明f(1/2^n)=(1/2^n)a
(f²(1/2+1/2)+f²(1/2-1/2)=2[f²(1/2)+f²(1/2)])
这里,可以把1替换成任意数p,所以f((2^n)p)=(2^n)f(np)
可以用数学归纳法证明对于任何奇数p,f(p)=ap
f(1)=a为初始条件,
f²(2n+1)+f²(2n-3)=2[f²(2n-1)+f²(2)]归纳
对于整数n,m,n>m
f²(2^n+2^m)+f²(2^n-2^m)=2[f²(2^n)+f²(2^m)]
f(2^n-2^m)=f(2^m(2^(n-m)-1))=(2^n-2^m)a因为2^(n-m)-1是奇数
可以算出f(2^n+2^m)=(2^n+2^m)a
由于任何实数有二进制表示,且f对于2^n的运算为线性
所以对于任何大于0的实数,f(x)=ax
补充,需要对于函数进行连续性验证.
先证明在0点右连续,再证明在任意点连续
可以假设在0点不收敛于0,得出矛盾
这就是函数方程.此外还可以参考一下书本如：《函数与函数方程》
希望这个答案你能满意.

函数f(x)满足关系f(xy)=f(x)+f(y) 用赋值法求函数f(x)定义域R且为增函数,f(xy)=f(x）+f(y）证明f（x/y)=f(x)-f(y) 已知函数f(x)对于任意实数xy 满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x-y)=f(x)-f(y) f(x)满足f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)求函数的奇偶性 f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x/y)=f(x)-f(y) 函数f(x+y)=f(xy)若f(19)=99求f(2008) f(x)是定义域在正实数的递增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),求证：f(x/y)=f(x)+f(y) 函数y=f(x)由方程xy^2+sinx=e^y,求y′ 定义在(0,+∞)上增函数f(x),恒有f(xy)=f(x)+f(y),f(log2x) f(x)定义域为正实数且为增函数,f(xy)=f(x)+f(y)求f(1) 已知函数f(x)满足:对于任意实数x,y,f(xy)=f(x)+f(y). 已知函数f x满足:对于任意实数x,y f(xy)=f(x)+f(y)