例1：一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

例1：一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?
题中3、4、5三个数两两互质.
则〔4,5〕=20；〔3,5〕=15；〔3,4〕=12；〔3,4,5〕=60.
为了使20被3除余1,用20×2=40；
使15被4除余1,用15×3=45；
使12被5除余1,用12×3=36.
然后,40×1＋45×2＋36×4=274,
因为,274>60,所以,274－60×4=34,就是所求的
有谁能告诉我20×2、15×3、12×3中的2、3、3怎么来的吗?

应该是M1=20 ,M2=15 ,M3=12
M1′=2 ,M2′=-1 ,M3′=3
x=M1*M1′*1+M2*M2′*2+M3*M3′*4+60t ,（ t为整数）
=154+60t
取t=-2 , x=34
你可以看看中国剩余定理!也称孙子定理!
中国剩余定理
"剩余倍分法"互除余一 互除少一
证明"孙子定理"不完善 不稳定的表现
孙子定理：
例 解同余式组
解 因3,5,7两两互质,故可由孙子定理给出解答, ＝3 5 7＝105,
故由孙子定理,所给同余式的解为： ≡2 35 2+1 21 3+1 15 2（mod 105）即
≡23（mod 105）.
以上孙子定理的解法,是计算出乘率×衍数×余数各项相加,减去两个乘积而得到的一个数,它不完善且解法较为复杂,普及应用有一定难度,还不稳定.
用"剩余倍分法"把"孙子定理"简化成一般解法,使剩余问题获解时,即有正基数,也有负基数,有正余数,也有负余数.互除余1能解,互除少1也能解（不限制大余数问题）,把其解法转化成一般算法、使它完善,稳定可普及应用.
用潘成洞,潘成彪2005《北京大学出版社》157页,简明数论一题论述：
例 X≡3（mod8）
X≡1（mod5）
X≡1（mod3） 答案X≡－29（mod120）
用"剩余倍分法"简化式对比计算,答案□=91.
3……1
□÷ 5……1
8……3
根据反证法：下式余数的少数,是上式（例4÷3=商1余1,如果=商2就少2）的"补充数",称负余数.
3……1少2
□ ÷5……1少4
8……3少5
用倍分法计算出正、负基数：
正基数 40 ＋96＋105 = 241
除 数 3 × 5 × 8 = 120
负基数 80 ＋24 ＋15 = 119
用式方法一余数×基数各项相加,除以乘积余数既是.
① 正基数,正余数
（1×40＋1×96＋3×105）÷（3×5×8）
=451÷120……91
② 正基数,负余数
（2×40＋4×96＋5×105）÷（3×5×8）
=989÷120……29
③ 负基数,负余数
（2×80＋4×24＋5×15）÷（3×5×8）
=331÷120……91
④ 负基数,正余数
（1×80＋1×24＋3×15）÷（3×5×8）
=149÷120……29
显然用29还原 加余数,减少数,不符合题意,用负－29还原符合题意减余数,加少数,但－29来历隐性明显,说服力不强.（低级学校不能接受）
用91还原减余数,加少数,符合题意,91为正确答案.
以上解法与"孙子定律"基本相同,但是有两种答案.
如果用"剩余倍分法"互除余一 互除少一计算不存在以上两个答案.
用方法二
① 用正基数,正余数
（3×□＋1）÷5=□……1
｛6（5＋1－1）＋1｝÷（5×3）
=31÷15……1
（15×□＋1）÷8=□……3
｛105（8＋3-1）＋1｝÷（8×15）
=1051÷120……91
方法二
③ 用正基数,负余数
（3×□－2）÷5=□…－4
｛6（5－4＋2）－2｝÷（3×5）
=16÷15……1
（15×□＋1）÷8=□…－5
｛105（8－5－1）＋1｝÷（8×15）
=211÷120……91
方法三
② 负基数,负余数
（3×□－2）÷5=□…－4
｛9（5＋4－2）－2｝÷（3×5）
=61÷15……1
（15×□＋1）÷8=□…－5
｛15（8＋5＋1）＋1｝÷（8×15）
=211÷120……91
方法三
④ 负基数,正余数
（3×□＋1）÷5=□……1
｛9（5－1＋1）＋1｝÷（5×3）
=46÷15……1
（15×□＋1）÷8=□……3
｛15（8－3＋1）＋1｝÷（8×15）
=91÷120……91
答案□=91
再证,用"剩余倍分法""物不知数"
3……2
□÷ 5……3
7……2
根据反证法：下式余数的少数,是上式（例5÷3=商1余2,如果=商2就少1）的"补充数",称负余数.
3……2少1
□÷5……3少2
7……2少5
用倍分法计算出正、负基数：
正基数70＋21＋15=106
除 数 3× 5× 7 =105
负基数35＋84＋90=209
用式剩余倍分法、方法一余数×基数各项相加,处以乘积余数既是.
① 用正基数,正余数
（2×70＋3×21＋2×15）÷（3×5×7）
=233÷105……23
② 用正基数,负余数
（1×70＋2×21＋5×15）÷（3×5×7）
=187÷105……82
③ 负基数,负余数解
（1×35＋2×84＋5×90）÷（3×5×7）
=653÷105……23
④ 负基数,正余数
（1×35＋2×84＋5×90）÷（3×5×7）
=502÷105……82
用23还原减余数,加少数.
用82还原加余数,减少数.用-82还原减余,加少数.（低级学校不能接受）
以上解法与"孙子定律"基本相同,但是有两种答案.
如果用"剩余倍分法"互除余一 互除少一计算不存在以上两个答案.
方法二
① 用正基数,正余数
（3×□＋2）÷5=□……3
｛6（5＋3－2）＋2｝÷（5×3）
=38÷15……8
（15×□＋8）÷7=□……2
｛15（7＋2-8）＋8｝÷（7×15）
=23÷105……23
方法二解
② 用正基数,负余数
（3×□－1）÷5=□…－2
｛6（5－2＋1）－1｝÷（3×5）
=23÷15……8
（15×□＋8）÷7=□…－5
｛15（7－5－8）＋8｝÷（7×15）（据说明：7可以扩大2倍数）
=23÷105……23
方法三
③ 负基数,负余数
（3×□－1）÷5=□…－2
｛9（5＋2－1）－1｝÷（3×5）
=53÷15……8
（15×□＋8）÷7=□…－5
｛90（7＋5＋8）＋8｝÷（7×15）
=1808÷105……23
方法三解
④ 负基数,正余数
（3×□＋2）÷5=□……3
｛9（5－3＋2）＋2｝÷（5×3）
=38÷15……8
（15×□＋8）÷7=□……2
｛90（7－2＋8）＋8｝÷（7×15）
=1178÷105……23
答案□=23
从以上对比认为"孙子定理",解法复杂,有时还不稳定,"剩余倍分法"不管在那种情况下都稳定,且解法简单,便于普及推广,更适用于解应用题.
例： 一个住校生,家里每星期给他36元生活费.该生每天实际只用生活费5元,某天他小姨到学校看他并给了50元钱,他用此钱买了两本喜爱的课外读物花10元,买学习用具花2元,放假回家后说明情况并给家长交回55元.
问：该生带几个星期的生活费?实际在校住几天?一共有多少钱?花去多少钱?
用方法二
列式（36×□＋50－10－2）÷5＝□……55元
｛36×（5＋55-50＋10＋2）＋50－10－2｝÷（5×36）
＝（36×22＋50－10－2）÷180
＝830÷180……110
答; 1,（110－50＋10＋2）÷36＝2, （括号内□内最小数）
2,（110－55）÷5＝11, （括号外□内最小数）
3 36×2＋50＝122,
4,122－55＝67.
答：该生带2个星期的生活费,实际住校11天,一共有122元,花去67元.
“中国剩余定理”————————韩信点兵
我国有一本数学古书「孙子算经」有这样一道问题：「今有物,不知其数,三三数之,剩二；五五数之,剩三；七七数之,剩二.问物几何?」
此题的意思是：有一批物品,三个三个地数,剩两个；五个五个地数,剩三个；七个七个地数,剩两个.问这批物品至少有多少个?
术曰：「三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得.」
这是解答.意思是2×70+3×21+2×15=233,233-105-105=23.
后面是法则, 明代数学家程大位在其里用口诀“:三人同行七十稀,五树梅花廿一,七子团圆月正半,除百零五便得知.”表达的.
这个口诀的意思是：把用3除所得的余数乘以70,加上用5除所得的余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘以15,结果若是比105大,就减去105的倍数,便得所求的数.
这就是被称之为“中国剩余定理”.
同余知识：
如果整数a、b都除以自然数n,所得余数相同,就称为a与b对于模n同余,记作a≡b(modn).
例如13与8分别除以5, 所得余数都是3,所以13与8对于模5同余,即13≡8(mod5).
T同余的常用性质:
⑴如果两个整数a与b对于模n同余,那么它们的差一定能被n整除.逆之亦真.
⑵同一个模n的两个同余式可以相加、相减、相乘.即如果 a≡b(mod n),c≡d(mod n),那么
A+c≡b+d(mod n), a-c≡b-d(mod n), a×c≡b×d(mod n).
⑶同余的两个数分别加上模的倍数后,仍然同余; 同余的两个数扩大同样的倍数后,仍然同余.