作业帮 > 综合 > 作业

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC

来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/02 16:24:45
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC
方法一：（1）证明：∵PB=PC，∴PO⊥BC
又∵平面PBC⊥平面ABCD
平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD（2分）
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，
即AO⊥BD∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD（4分）
（2）∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD
∴DC⊥平面PBC∵PC⊂平面PBC，∴DC⊥PC
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角（6分）
∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°（8分）
（3）证明：取PA，PB的中点M，N，连接CN
∵PC=BC，∴CN⊥PB①∵AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD∴AB⊥平面PBC（10分）
∵AB⊂平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB，CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD
MN=
1
2AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵DM⊆平面PAD∴平面PAD⊥平面PAB（12分）
方法二：取BC的中点O，因为△PBC是等边三角形，
由侧面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD（1分）
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz（2分）
（1）证明：∵CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2
在等边三角形PBC中，PO＝
3
∴A(1，−2，0)，B(1，0，0)，D(−1，−1，0)，P(0，0，
3)
∴

BD＝(−2，−1，0)，

PA＝(1，−2，−
3)
∵

BD• 

PA＝(−2)×1+(−1)×(−2)+0×(−
3)＝0
∴

PA⊥

BD，即PA⊥BD（4分）
（2）取PC中点N，则

BN＝(−
3
2，0，

3
2)
∵

DC=（0，2，0），

CP=（1，0，
3）
∴

BN•

DC=（-
3
2）×0+0×2+

3
2×0=0

BN•

CP=（-
3
2）×1+0×0+

3
2×
3=0
∴

BN⊥平面PDC，显然

OP＝(0，0，
3)，且

OP⊥平面ABCD
∴

BN、

OP所夹角等于所求二面角的平面角（6分）∵

BN•

OP＝(−
3
2)×0+0×0+

3
2×
3＝
3
2，|

BN|＝
3，|

OP|＝
3
∴cos＜

BN， 

OP＞＝

3
2

3
3＝
1
2∴二面角P-DC-B的大小为60°（8分）
（3）证明：取PA的中点M，连接DM，则M的坐标为(
1
2，−1，

3
2)
又

DM＝(
3
2，0，

3
2)，

OP＝(1，0，−
3)（10分）
∴

DM•

PA＝
3
2×1+0×(−2)+

3
2×(−
3)＝0

DM•

PB＝
3
2×1+0×0+

3
2×(−
3)＝0
∴

DM⊥

PA，

DM⊥

PB，即DM⊥PA，DM⊥PB
∴DM⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC 如图：已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°AB=BC=PB=PC=2CDC,侧面PBC⊥底 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面AB 已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面AB 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2， 如图,四棱锥P-ABCD的地面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=2,BC=根号2,CD=1,PC⊥底面ABC 急已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90度,AB=BC=PB= 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,且PA=PB=PC=AB=6,CD=2,BC 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形AB平行CD ∠ABC=90 AB=2BC=2CD=2,PA=PD,PB=PC 四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面SBC⊥底面AB