灵鹊做题网运用技巧可以顺利的解决问题,如下面的问题就是采用了“借”的技巧.
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 15:48:49
运用技巧可以顺利的解决问题,如下面的问题就是采用了“借”的技巧.
例：啤酒厂回收啤酒瓶的一种方法是6只空啤酒瓶可换一瓶啤酒,张爷爷从某批发商店购买了60瓶啤酒,喝完后,用空啤酒瓶再换啤酒,则张爷爷最多可喝多少瓶啤酒?
由题意,知60瓶啤酒喝完后,用空啤酒瓶可换回啤酒的数量为60÷6=10（瓶）,再喝完后从商店借2个空啤酒瓶又可换回2瓶啤酒,最后喝完把2个空啤酒瓶归还.这样,张爷爷最多可喝到的啤酒数量为60+10+2=72（瓶）
请同学们也利用“借”的技巧,解决下面的问题：
化简1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
例：啤酒厂回收啤酒瓶的一种方法是6只空啤酒瓶可换一瓶啤酒,张爷爷从某批发商店购买了60瓶啤酒,喝完后,用空啤酒瓶再换啤酒,则张爷爷最多可喝多少瓶啤酒?
由题意,知60瓶啤酒喝完后,用空啤酒瓶可换回啤酒的数量为60÷6=10（瓶）,再喝完后从商店借2个空啤酒瓶又可换回2瓶啤酒,最后喝完把2个空啤酒瓶归还.这样,张爷爷最多可喝到的啤酒数量为60+10+2=72（瓶）
请同学们也利用“借”的技巧,解决下面的问题：
化简1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
借1/(1-x)
原式1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
=1/（x+1）+1/(1-x) +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=2/(1-x^2)+2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=4/（1-x^4）+4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=8/（1-x^8）-8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=16/（1-x^16）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=-1/(1-x) 1/（x+1）+1/(1-x)=2/(1-x^2)所以
1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
=1/(1-x)+1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=16/(1-x^16)-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=1/(x-1)1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
=[1/(1-x)+1/（x+1）] +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=[2/(1-x^2)+2/(1+x^2) ] + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=……
=16/(1-x^16)-16/(1-x^16)-1/(1-x)
=-1/(1-x) 2/(1-x^2)所以有16/（1-x^16）=8/（1+x^8）+8/(1-x^8)
8/（1-x^8）=4/（1+x^4）+4/（1-x^4）
4/（1-x^4）=2/(1+x^2)+2/(1-x^2)
最后
1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
=1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-{8/（1+x^8）+2/(1+x^2) + 4/（1+x^4)+1/（1+x)+1/(1-x)}
=1/(x-1)
原式1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
=1/（x+1）+1/(1-x) +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=2/(1-x^2)+2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=4/（1-x^4）+4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=8/（1-x^8）-8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=16/（1-x^16）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=-1/(1-x) 1/（x+1）+1/(1-x)=2/(1-x^2)所以
1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
=1/(1-x)+1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=16/(1-x^16)-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=1/(x-1)1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
=[1/(1-x)+1/（x+1）] +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=[2/(1-x^2)+2/(1+x^2) ] + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）-1/(1-x)
=……
=16/(1-x^16)-16/(1-x^16)-1/(1-x)
=-1/(1-x) 2/(1-x^2)所以有16/（1-x^16）=8/（1+x^8）+8/(1-x^8)
8/（1-x^8）=4/（1+x^4）+4/（1-x^4）
4/（1-x^4）=2/(1+x^2)+2/(1-x^2)
最后
1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-16/（1-x^16）
=1/（x+1） +2/(1+x^2) + 4/（1+x^4）+8/（1+x^8）-{8/（1+x^8）+2/(1+x^2) + 4/（1+x^4)+1/（1+x)+1/(1-x)}
=1/(x-1)