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设向量组a1,a2,…,am线性无关,向量组b,a1,a2,…,am(b不等于0)线性相关,则b,a1,a2,…,am中

来源:学生作业帮 编辑:灵鹊做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/01 17:51:10
设向量组a1,a2,…,am线性无关,向量组b,a1,a2,…,am(b不等于0)线性相关,则b,a1,a2,…,am中有且只有一个向量ai可有其前面的向量线性表出
设向量组a1,a2,…,am线性无关,向量组b,a1,a2,…,am(b不等于0)线性相关,则b,a1,a2,…,am中
因为向量组a1,a2,…,am线性无关,向量组b,a1,a2,…,am(b不等于0)线性相关
所以b可以由向量组a1,a2,…,am线性表出,
再来证明b,a1,a2,…,am中有且只有一个向量ai可有其前面的向量线性表出,
反证:若有2个,则向量组a1,a2,…,am有一个向量可有其前面的向量线性表出,不妨设为a1,
a1可以由向量组b,a2,…,am(b不等于0)线性表出,则a1=x1b,+x2,a2,+…+xm,am,xi是系数,不全为0 ,而b=y1a1,+y2,a2,+…+ym,am,yi是系数,不全为0 ,联立消去b,得到向量组a1,a2,…,am线性相关,所以矛盾,故b,a1,a2,…,am中有且只有一个向量ai可有其前面的向量线性表出,