灵鹊做题网已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)+f(x)x＞0，则关于x的函数g(x)＝f(x)+1x的零点个
来源：学生作业帮 编辑：灵鹊做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/23 18:14:17
已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)+
＞0
| f(x) |
| x |
由于函数g(x)＝f(x)+
1
x，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，
故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．
由于当x≠0时，f′(x)+
f(x)
x＞0，
①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+
f(x)
x ）＞0，
所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．
又∵
lim
x→0[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
因此，在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．
②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+
f(x)
x ）＜0，
故函数 x•g（x）在（-∞，0）上是递减函数，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
故函数 x•g（x）在（-∞，0）上无零点．
综上可得，函g(x)＝f(x)+
1
x在R上的零点个数为0，
故选C．
再问： 嗯 这样能理解 高中的知识能解决么
1
x，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，
故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．
由于当x≠0时，f′(x)+
f(x)
x＞0，
①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+
f(x)
x ）＞0，
所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．
又∵
lim
x→0[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
因此，在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．
②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+
f(x)
x ）＜0，
故函数 x•g（x）在（-∞，0）上是递减函数，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
故函数 x•g（x）在（-∞，0）上无零点．
综上可得，函g(x)＝f(x)+
1
x在R上的零点个数为0，
故选C．
再问： 嗯 这样能理解 高中的知识能解决么
已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)+f(x)x＞0，则关于x的函数g(x)＝f(x)+1x的零点个
f(x)为R上的函数 f(x+y)=f(x) f(y),当x>0时,0
f(x)为R上的函数,f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时,0小于f(x)小于1
定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像是连续的,当x不等于0时,f'(x)+f(x)/x>0,则函数g(x)=f(
已知函数y=f（x）在R上是奇函数,且当x》0时,f（x）=x^2-2x+1,则f（x）的解析式为f（x）=
已知当x小于0时f(x)=a-x^2-2x当x大于等于0时f(x)=f(x-1)且函数y=f(x)-x恰有3个不同的零点
定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x,y∈R),当x>0时,f (x)
已知函数f（x）定义域在R上的函数,且对任意的x,y都有f（x+y)=f(x)+f(y)-1成立.当x＞0时,f(x)＞
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已知函数f(x),x∈R的图像关于y轴对称且当x∈（0,1）时,f(x)=x^2,同时f(x+2)=f(x).求f(x)
已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=2^x-2√x,又a是函数g(x)=ln(x+1)-2/x的正零点
已知函数f（x）是R上的偶函数，且f（1-x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）-l