灵鹊做题网证明不等式x (1 x*x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:33:39
设：f(x)=e^x－ex则：f'(x)=e^x－e当x>1时,f'(x)>0即：函数f(x)在x>1时是递增的,则：对于任意x>1,都有：f(x)>f(1)=0成立,即：对一切x>1,有：e^x－e
要证x>ln(1+x)(x>0)即证,x-ln(1+x)>0设f(x)=x-ln(1+x)求导可得：f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0在定义域(0,+无穷)上恒成立,所以f(x)单调增
f(x)=2x-sinx-tanxf'(x)=2-cosx-sec²x=2-cosx-1/cos²x=(2cos²x-cos³x-1)/cos²x分母
证明：构造函数f(x)=e^x-1-xf(0)=e^0-1-0=0f'(x)=e^x-1当x>0时,f'(x)>0,则f(x)递增当x
证明：原不等式等价于（1-x）e^(2x)0时,f''(x)>0,所以f'(x)在x>0时单调上升,所以f'(x)>0,进而可以得f(x)在x>0时是单调上升的,所以x>0时,f(x)>f(0)=0所
f(x)=ln(1+x)-x则f'(x)=1/(1+x)-10)所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是f(x)g(x)=x/(1+x)-ln(1+x)则g'(x)=1/(1+x)^2-1/(1+x
有图像可知x>In(x+1)
x∈(0,1)→x>0且1-x>0,∴x(1-x)>0→x-x²>0.
先看右边：两相除,再同时去以e为底指数,之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+.)
证明：令1/x=tx=1/t(t>0)则等价求证：t/(1+t)
这种题用构造新函数的方法：设F（X）=x-ln(1+x),然后求导,导数f(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)>0.所以F（X）>F（0）>0.得证
解1：ln[(x+1)/x]=ln(1+x)-lnx在[x,x+1]上用拉格朗日中值定理得ln(1+x)-lnx=(1+x-x)(1/ε)=1/ε其中x
设f(t)＝1+t-2^t,则f'(t)＝1-2^t·ln2.0
f(x)=x-ln(x+1)f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)x>1,所以f'(x)>0,增函数所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0f(x)>0所以x>0时,x>ln(x+1)
记f(x)=e^x-x-1则f(0)=0当x>0时,f'(x)=e^x-1>0所以f(x)在x>o为增函数,从而f(x)>f(0)=0,即e^x>x+1
设差函数F(x)=x-ln(x+1)(x>-1)求导F'(x)=x/(x+1)不难看出x>1时,F'(x)>0,所以F(x)递增所以F(x)的最小值就是F(1)又F(1)=1-ln2>0所以F(x)横
证明：设f(x)=x-ln(1+x)f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)因为f(1)=1-ln2=lne-ln2>0(y=lnx在x>0为单调增函数,e>2）当x>1时,f'(x)>0,f(
先看右边：两相除,再同时去以e为底指数,之后对e^x作麦克劳琳展开（其实就是证明e^x的增长速度大于1+x）ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+.)
可以构造函数来做.设f（x）=In(1+X)－Xf’（x）＝1／(1+X)－1＝－X／(1+X)f’（x）0在（0,＋∞）上成立．∴f（x）