设A是方阵,A^k=0对某个正整数K成立-搜答案-灵鹊做题网

(E-A)(E+A+A^2+...+A^K-1)=E+A+A^2+...+A^K-1-(A+A^2+...+A^K)=E-A^k=E所以：E-A可逆,并且(E-A)^-1=E+A+A^2+...+A^

由（A+E)^2=0得A^2+2A+E=0A(-A-2E)=E所以A可逆且逆矩阵为-A-2E

=IkAI=k^n iAi =k^n*4

n阶方阵在复数域上有几个特征值呢?一定是n个,因为特征多项式|aE-A|是关于a的n次多项式,必有n个根.总之,计入复根,则A必有n个特征值.接下来如果特征值是a,那么由定义定有AX=aX于是a^kX

证明:设λ是A的特征值则λ^k是A^k的特征值(这是定理)而A^k=0,零矩阵的特征值只能是0所以λ^k=0所以λ=0即A的特征值一定为0.

这是方阵行列式的基本性质kA是A中所有元素都乘以k取行列式|kA|:每一行都有一个k公因子,根据行列式的性质,每行提出一个k所以：|kA|=k^n|A|

这类求证一个已知矩阵式另一个已知矩阵的逆矩阵的题型思路是证明它们的乘积等于单位阵请见下图

证明:因为|A|=0所以AA*=|A|E=0所以A*的列向量都是AX=0的解.又因为|A|=0所以r(A)=1,所以r(A)>=n-1所以r(A)=n-1.所以AX=0的基础解系含n-r(A)=1个解

设a是特征值,对应的特征向量为x,即Ax=ax,左乘A得A^2x=aAx=a^2x,继续递推下去有A^kx=a^kx,即a^k是A^k（=0）的特征值,因为a=0,所以A^k=a^k=0

注:由于题目中出现A^k,故A一定是方阵因为AX=0只有零解所以|A|≠0所以|A^k|≠0所以A^kX=0只有零解.

∵AA*=A*A=|A|E，∴A*=|A|A-1，从而：（kA）*=|kA|•（kA）-1=kn|A|•1kA−1＝kn−1|A|A−1＝kn−1A*，故选：B．

证法一由于有关系式（A的秩）＋（Ax＝0的解空间维数）＝n现在依照题意,Ax＝0的解空间是整个空间,即（Ax＝0的解空间维数）＝n所以A的秩是零,因此A＝0证法二（反证）设A≠0,则A的某个元素a（i

Ax=0只有零解所以|A|不等于0而|A^k|=|A|^k不等于零所以A^kx=0只有唯一解,就是零解

由于(E+A+A^2+,+A^(k-1))(E-A)=（E+A+...+,+A^(k-1))-(A+...+,+A^k)=E-A^k=E(注意那个式子的抵消规律)所以命题成立

因为A^k=E所以A可逆,即A的特征根非零.如果A不可对角化,根据亚当标准型,存在两个非零向量x1,x2,及一个非零特征根a,使得：Ax2=ax2,Ax1=ax1+x2.则:A^2x1=A(ax1+x

例如A=(01)(00)则A≠0且A^2=0

主要工具都是|MN|=|M|*|N|(1)kA=(kE)A,所以|kA|=|kE|*|A|.kE是n阶对角阵,对角元全为k,所以行列式|kE|=k*k*...*k=k^n.所以|kA|=k^n|A|(

行列式的值等于特征值乘积0

A^k=0,E-A^k=E,展开,（E-A）*（E+A+A平方+A立方+...+A的k-1次方）=E.得证了赛.（后面是不是你打错了,B是咋个来的?）