设A,B均为n阶方阵,k为常数

n阶方阵在复数域上有几个特征值呢?一定是n个,因为特征多项式|aE-A|是关于a的n次多项式,必有n个根.总之,计入复根,则A必有n个特征值.接下来如果特征值是a,那么由定义定有AX=aX于是a^kX

这是方阵行列式的基本性质kA是A中所有元素都乘以k取行列式|kA|:每一行都有一个k公因子,根据行列式的性质,每行提出一个k所以：|kA|=k^n|A|

因为A~B设B=PAP-1则B^k=(PAP-1)^k=(PAP-1)(PAP-1)...(PAP-1)=PA(P-1P)A(P-1P)...AP-1=P(A^K)P-1所以A^k~B^k

证：∵rank(A)=1,A为n阶方阵∴A=αβ'（'表示转置）∴A²=αβ'αβ'=α(β'α)β'令k=β'α,∴A²=kαβ'=kA结论得证!

设r(A)=p则存在矩阵P1,Q1使得P1AQ1=C1(C1只有前p行,前p列不为0）则A=P1^-1C1Q1^-1设r(B)=q则存在矩阵P2,Q2使得P2BQ2=C2(C2只有后q行,后q列不为0

R(A)=n-1=>|A|=0=>AA*=|A|E=0又因为R(AA*)》R(A)+R(A*)-n因此R(A*)《1有因为R(A)=n-1,即至少有一个n-1阶子式不等于0,即R(A*)》1所以R(A

∵AA*=A*A=|A|E，∴A*=|A|A-1，从而：（kA）*=|kA|•（kA）-1=kn|A|•1kA−1＝kn−1|A|A−1＝kn−1A*，故选：B．

选B因为若|A|不等于0,则A可写成一系列初等矩阵的乘积,AB相当于对B作一系列初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,所以AB同B有相同的秩,但是,由于AB=0,所以其秩为0,而B不等于0,所以其秩至少为

由AB=A+B,有(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E.A-E与B-E互为逆矩阵,于是也有(B-E)(A-E)=E.展开即得BA=A+B=AB.

选C,这个时候提取系数的话需要阶数的次方.

由A可逆,且AB=0等式两边左乘A^-1得A^-1AB=A^-10即B=0所以(A)正确

BX=C-AB^(-1)BX=B^(-1)*(C-A)X=B^(-1)*(C-A)

kA,是每个元素都乘以k所以取行列式和每行都可以提取k,从而选C,(k∧n)|A|

解 ： 为了方便,这里只举由一个方程构成的方程组为例子： 方程组 x1+x2+x3=0 的基础解系为 (-1,1,0)^T,(-1,0,1)

AB=0,则B的列向量都是Ax=0的解因为B≠0,所以Ax=0有非零解,所以|A|=0.同理.AB=AC即A(B-C)=0若能推出B=C则Ax=0只有零解,所以|A|≠0|A|≠0r(A)=nAx=0

根据逆矩阵的性质AB=I则有BA=I.已知ABC=I所以A(BC)=I,所以(BC)A=I.故(D)正确再问：貌似我书上的单位矩阵都是E莫非这里的单位矩阵是I？再答：是单位矩阵一般有两种记法,E和I.

主要工具都是|MN|=|M|*|N|(1)kA=(kE)A,所以|kA|=|kE|*|A|.kE是n阶对角阵,对角元全为k,所以行列式|kE|=k*k*...*k=k^n.所以|kA|=k^n|A|(

我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.（1）n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.（2）证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.（3）证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们

BA＝A＋BB＝BA－AB＝（B－I）A（I＝identitymatrix）(B-I)^(-1)*B=(B-I)^(-1)*(B-I)*A(B-I)^(-1)*B=A(B-I)^(-1)*B*B=AB

这是个定理或性质.它的证明比较繁琐,若学过Laplace展开还好一点.记住这个结论就行了,不必深究它的证明!