正定矩阵合同于I-搜答案-灵鹊做题网

A正定二次型X^TAX的正惯性指数为nA与E合同

二次型英文名：quadraticform设f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij*x_i*x_j这里a_ij是系数,满足a_ij=a_ji则称f为n元二次型.将系数a_ij按照下表ij排成矩阵

1.若A可逆且非正定,则A的秩为n,且负惯性指数在1到n之间由已知可知,必有两个矩阵Ai,Aj的正负惯性指数相同此时,Ai与Aj合同.2.|A-λE|=(-1-λ)[-λ(3-λ)-4]=(-1-λ)

充分性：如果A=C'C,那么对于非零向量x,x'Ax=(Cx)'(Cx)>0必要性：直接用Gauss消去法证明存在下三角矩阵L使得A=LL‘"对于其他方阵该充要条件吗"中的“其他方阵”是什么意思再问：

可以AB合同的充要条件是其二次型有相同的标准型,即有相同的正,负惯性指数,故A正定,B也正定

实对称阵A是正定阵则A的特征值{a1,a2,..,an}都是正的而实对称阵是正交相似于对角阵diag(a1,..,an)即有正交阵P使得A=P'diag(a1,a2,..,an)P=P'diag(√a

正定矩阵A的特征值都是正的,可相似对角化成diag(a1,a2,...,an),ai>0.即存在正交矩阵P,使P'AP=diag(a1,a2,...,an)取C=diag(√a1,√a2,...,√a

A正定,所以A合同于E,等价于A=T(D)*D,D可逆(记T(D)为D的转置)从而A^2=T(D)*D*T(D)*D=T(T(D)*D)*T(D)*D,故合同于E(符号比较繁,你转化过来就好看了)

应该说这个标准型看上去不是很舒服,最好先把它转化到M=diag{D,D,...,D,0,0,...,0}其中D=01-10这步合同变换很容易,按1,n,2,n-1,3,n-2,...的次序重排行列即可

"取C=diag(√a1,√a2,...,√an)"这里有误应该是取C=diag(1/√a1,1/√a2,...,1/√an)

1.注意问题的讲法,应该是能够找到一个使得a和b同时合同对角化的可逆矩阵s,而不是说分别使a和b合同对角化的可逆矩阵s1,s2一定满足s1=s2.2.楼上的方法是错的,错误在于“因为v是正交矩阵,所以

这是基本结论,可由定义证明.经济数学团队帮你解答.请及时评价.

答案是肯定的.而且我认为问题没有那么复杂.B是正定矩阵,则存在可逆矩阵T,使得B＝TT’.（右上角一撇代表转置,下同）A与B合同,则存在可逆矩阵P,使得A＝PBP’.令Z＝PT.显然Z为可逆矩阵,且A

再答：根据正定的定义来就好了～再问：谢谢你。

1.这是定理事实上A正定,则对任一向量x≠0,x^TAx>0所以A的正惯性指数为n所以A合同于单位矩阵E反之显然.2.(1,0,0)^T,(0,1,-1)^T3.特征向量是非零向量,看看定义4.不可能

未必,还必须是实对称阵.

实对称矩阵可正交对角化即存在正交矩阵Q满足Q^-1AQ=diag(λ1,...,λn),Q^-1=Q^T其中λi是A的特征值.由A正定,故λi>0,i=1,2,...,n.令C=diag(√λ1,..

配方法就说明了存在可逆矩阵C使得C^TAC为对角矩阵所以对称矩阵合同于对角矩阵

(=>)因为A正定,所以X^TAX的规范形为y1^2+...+yn^2所以存在可逆矩阵C满足C^TAC=E所以A合同于单位矩阵(再问：为什么从规范形得出存在可逆矩阵C，满足那个式子？谢谢老师：）

正定矩阵 合同于I